Question

如圖，在?ABCD中，AB=5，AD=15，．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿B→A→D以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C→B以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)P、Q停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，分別連接BE、PQ．設(shè)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)，PQ∥AB？
（2）在整過(guò)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形PBEQ能否為梯形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)P在AD上，PQ∥AB時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC
∴四邊形ABQP是平行四邊形
∴AP=BQ
∵AP=2t-5，BQ=15-3t
∴2t-5=15-3t
∴t=4

（2）作PF⊥BC于點(diǎn)F
∠PFB=∠PFC=90°
∵四邊形PBEQ是梯形
∴PQ∥BE，∠ABC=∠BCE
∴∠PQB=∠EBQ
∴tan∠PQB=tan∠EBQ
∴
∵
∴sin∠BCE=，
，，且PB=2t，CQ=3t
∴
即PF=
在Rt△BPF中，由勾股定理得：
BF=
在Rt△ECQ中，設(shè)EQ=4x，EC=5x，由勾股定理求得：
x=t，∴EQ=4t，
∴FQ=15-4t-，BQ=15-3t
∴
解得：t₁=0（不符合題意），t₂=3
∴t=3時(shí)，四邊形PBEQ為梯形．
分析：（1）設(shè)P點(diǎn)、Q點(diǎn)分別運(yùn)動(dòng)到如圖的位置時(shí)，PQ∥AB，則有AP=BQ，利用這兩條線(xiàn)段相等建立等量關(guān)系，就可以求出
PQ∥AB是t的值．
（2）利用三角函數(shù)值表示出BF的值，因?yàn)镻Q∥BE，∴∠PQB=∠EBC所以這兩個(gè)角的正切值也相等建立等量關(guān)系，從而求出是梯形是t的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，勾股定理、解直角三角形的運(yùn)用．