Question

已知a+b=1，ab=-1，設(shè)S₁=a+b，S₂=a²+b²，S₃=a³+b³，…，S_n=aⁿ+bⁿ．
（1）計(jì)算S₂、S₃、S₄的值；
（2）寫出S_n-2、S_n-1、S_n三者之間的關(guān)系式；
（3）根據(jù)以上得出的結(jié)論，計(jì)算a⁷+b⁷的值．

Answer 1

解：（1）∵S₂=a²+b²=（a+b）²-2ab=3；
∵（a²+b²）（a+b）=a³+ab²+a²b+b³=a³+b³+ab（a+b），
∴3×1=a³+b³-1，
∴a³+b³=4，即S₃=4，
∵S₄=（a²+b²）²-2（ab）²=7，
∴S₄=7；

（2）∵S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₂+S₃=S₄，
∴S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）∵S_n-2+S_n-1=S_n，S₂=3，S₃=4，S₄=7，
∴S₅=4+7=11，
∴S₆=7+11=18，
∴S₇=11+18=29．
分析：（1）利用完全平方公式進(jìn)行化簡，然后代入a+b，ab的值，即可推出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出S_n-2+S_n-1=S_n；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，即可推出a⁷+b⁷=S₇=S₅+S₆=3S₄+2S₃．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查整式的混合運(yùn)算、完全平方公式的運(yùn)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出S₂=3，S₃=4，S₄=7，分析歸納出規(guī)律：S_n-2+S_n-1=S_n．