Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與直線y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，-1）．點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線AC于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，PD的長(zhǎng)度為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在問(wèn)題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問(wèn)是否存在以A、P、E、F 為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，-1），
∴設(shè)y=a（x-2）²-1，將C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）²-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）∵直線y=kx+b過(guò)（3，0），（0，3），則：
，
解得：，
∴AB的解析式為：y=-x+3．
由題意有P（t，t²-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t²-4t+3）=-t²+3t，
∴當(dāng)t=時(shí)，l取最大值，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為[，（）²-4×（）+3]，
即P（，-）．

（3）①若AP是平行四邊形的一條邊時(shí)，平移直線AP（如圖）交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F．
此時(shí)當(dāng)AP=FE時(shí)，四邊形PAFE是平行四邊形．
∵P（，-），
∴可令F（x，）或F（x，-）．
∴x²-4x+3=或x²-4x+3=-，
解之得x₁=，x₂=，x₃=，x₄=．
但當(dāng)x₁=時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與P點(diǎn)重合，不能構(gòu)成平行四邊形．
滿足條件的F點(diǎn)有三個(gè)，即F₁（，）、F₂（，）、F₃（，-）；
②當(dāng)AP是平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)，要使以A、P、E、F 為頂點(diǎn)的平行四邊形，
則有PF∥AE，即F₂的縱坐標(biāo)與P點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即x²-4x+3=-，
此種情況在①中已求得F₃的坐標(biāo)．
綜上所述，滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)有三個(gè)，
即F₁（，）、F₂（，）、F₃（，-）．
分析：（1）利用頂點(diǎn)式將Q點(diǎn)代入進(jìn)而得出拋物線解析式；
（2）首先求出AB所在直線解析式，進(jìn)而表示出P，D的坐標(biāo)，即可得出PD長(zhǎng)度的關(guān)系式，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）分別根據(jù)①若AP是平行四邊形的一條邊時(shí)，平移直線AP（如圖）交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，②當(dāng)AP是平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)，要使以A、P、E、F 為頂點(diǎn)的平行四邊形，求出F點(diǎn)坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．