Question

（2012•中山區(qū)一模）在△ABC中，∠ACB=90°，以AC為一邊向外作正方形ACDE（如圖1），線段BA繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段AP，連接PE、CE．

（1）①請(qǐng)補(bǔ)全圖形；
②當(dāng)tan∠BAC=2時(shí)，探究線段PE與CE的關(guān)系，并加以證明；
（2）當(dāng)tan∠BAC=n時(shí)（如圖2），請(qǐng)直接寫出PE：CE的值．（用含有n的式子表示）

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；
②過(guò)點(diǎn)P作PF⊥EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由全等三角形的判定定理可得出Rt△APF≌Rt△ABC，設(shè)AC=x，由tan∠BAC=2，可知BC=2x，在Rt△ACE中，利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，在Rt△PEF中由勾股定理得出PE的長(zhǎng)，再求出其比值即可；
（2）同（1）可得Rt△APE≌Rt△ABC，AF=AC，PF=BC，tan∠BAC=n，設(shè)AC=x，則BC=nx，同上可得出CE及PE的長(zhǎng)，故可得出結(jié)論．

解答：（1）解：①如圖1所示：
②PE=2CE．
證明：如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵四邊形ACDE是正方形，
∴∠2+∠FAB=90°，
∵線段AP是由線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴∠1+∠FAB=90°，AP=AB，
∴∠1=∠2，
∵PF⊥AF，
∴∠ACB=∠PFA=90°，
∴∠APF=∠ABC，
在Rt△APF與Rt△ABC中，
∵

∠1=∠2 AP=AB ∠APF=∠ABC

，
∴Rt△APF≌Rt△ABC，
∴AF=AC，PF=BC，
設(shè)AC=x，
∵tan∠BAC=2，
∴BC=2x，
在Rt△ACE中，
CE=

AE2+AC2

=

x2+x2

=

2

x，
在Rt△PEF中，
∵AF=AE=x，PF=BC=2x，
∴EF=2x，
∴PE=

PF2+EF2

=

(2x)2+(2x)2

=2

2

x，
∴

PE

CE

=

2 2 x

2 x

=2，即PE=2CE；

（2）

PE

CE

=

n2+4 x

2 x

=

n2+4

2

．
證明：同（1）可得Rt△APF≌Rt△ABC，AF=AC，PF=BC，
∵tan∠BAC=n，
∴設(shè)AC=x，則BC=nx，
在Rt△ACE中，
CE=

AE2+AC2

=

x2+x2

=

2

x，
在Rt△PEF中，
∵AF=AE=x，PF=BC=nx，
∴EF=2x，
∴PE=

PF2+EF2

=

(nx)2+(2x)2

=

n2+4

x，
∴

PE

CE

=

n2+4 x

2 x

=

n2+4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，能利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．