Question

如圖，在?ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長CB交AE于點G，點G在點A，
E之間，連接CE、CF、EF，有下列四個結論：
①△CDF≌△EBC；     ②∠CDF=∠EAF；
③△ECF是等邊三角形；  ④CG⊥AE，
請把你認為正確的結論的序號填在橫線上

①②③

．

Answer 1

分析：根據平行四邊形的對角相等，等邊三角形的每一個角都是60°表示出∠CDF=∠EBC，平行四邊形的對邊相等，等邊三角形的三條邊都相等可得CD=EB，DE=BC，然后利用“邊角邊”證明△CDF和△EBC全等，判定①正確；再表示出∠EAF，可得∠CDF=∠EAF，判定②正確；同理求出△CDF和△EAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CE=CF=EF，判定△ECF是等邊三角形，判定③正確；根據等邊三角形的性質，只有∠ABC=150°時，CG⊥AE．

解答：解：在?ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等邊三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，

DF=BC ∠CDF=∠EBC CD=EB

，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正確；
在?ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故②正確；
同理可證△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等邊三角形，故③正確；
當CG⊥AE時，∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°無法求出，故④錯誤；
綜上所述，正確的結論有①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了平行四邊形的對邊相等，鄰角互補的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，綜合題但難度不大，仔細分析便不難求解．