Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，6）、B（m，0）、C（3，0），并且m＜3，D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求b，c，m的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P是線段OC上一點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足∠PDC=∠BAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把A（-3，6）、C（3，0）代入解析式得，2c-6b=3①，2c+6b=-9②，
解由①②組成的方程組得，b=-1，c=-；
拋物線的解析式為：y=x²-x-，
令y=0，則x²-x-=0，解得，x₁=3，x₂=-1，而m＜3，所以m=-1，
所以b=-1，c=-，m=-1；

（2）由B（-1，0），C（3，0），得對(duì)稱軸為直線x=1，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
∴sin∠PCD=
∴∠PCD=45°，
由A（-3，6）、C（3，0），得∠ACB=45°；
∵∠PDC=∠BAC，
∴△ABC∽△DPC，
∴BC•DC=AC•PC，
而B(niǎo)C=4，AC=6，DC=2，
∴PC=，則OP=3-=，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
分析：（1）把A（-3，6）、C（3，0）代入二次函數(shù)得，2c-6b=3①，2c+6b=-9②，解由①②組成的方程組得，b=-1，c=-；得到拋物線的解析式為：y=x²-x-，令y=0，則x²-x-=0，解得，x₁=3，x₂=-1，而m＜3，所以m=-1，
（2）通過(guò)D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），C（3，0），得到∠PCD=45°；由A（-3，6）、C（3，0），得∠ACB=45°；加上∠PDC=∠BAC，得到△ABC∽△DPC，則BC•DC=AC•PC，而B(niǎo)C=4，AC=6，DC=2，得到PC=，則OP=3-=，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，通過(guò)解方程組確定a，b，c的值．也考查了點(diǎn)在圖象上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)、三角形相似的判定和性質(zhì)．