Question

推理運(yùn)算：
拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABDE的面積；
（3）求證：△BDE為直角三角形；
（4）求證：△AOB∽△BDE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象給出的信息，即可得到A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式，易求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于四邊形ABDE不規(guī)則，可將其面積轉(zhuǎn)化為其他規(guī)則圖形面積的和差；過D作DF⊥x軸于F，那么四邊形ABDE的面積可由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面積和求得；
（3）根據(jù)B、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)，可分別求出BD、DE、BE的長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理來判定△BDE是否為直角三角形；
（4）在（3）中，已證得∠BDE=90°，那么可以看所求的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)直角邊是否成比例即可．

解答：（1）解：由圖知：A（-1，0），B（0，3），C（2，3）；
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；

（2）解：過D作DF⊥x軸于F；
由（1）的拋物線易得：D（1，4），E（3，0）；
則OF=1，DF=4，EF=2；
∴S_{四邊形ABDE}=S_△AOB+S_△DEF+S_梯形BOFD=

1

2

×1×3+

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1=9；

（3）證明：∵B（0，3），D（1，4），E（3，0），
∴BD²=2，DE²=20，BE²=18；
∴BD²+BE²=DE²，
故△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°；

（4）證明：由（3）知：BD=

2

，DE=3

2

；
∴OA：OB=BD：DE=1：3；
又∵∠AOB=∠BDE=90°；
∴△AOB∽△BDE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定等知識(shí)，要求學(xué)生熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)．