Question

（2012•西寧）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=12，BD=16，E為AD中點，點P在x軸上移動，小明同學(xué)寫出了兩個使△POE為等腰三角形的P點坐標(biāo)（-5，0）和（5，0）．請你寫出其余所有符合這個條件的P點坐標(biāo)

（8，0）或（

25

8

，0）

．

Answer 1

分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E為AD中點，根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，易求得OE的長，然后分別從①當(dāng)OP=OE時，②當(dāng)OE=PE時，③當(dāng)OP=EP時去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC=

1

2

×12=6，OD=

1

2

BD=

1

2

×16=8，
∴在Rt△AOD中，AD=

OA2+OD2

=10，
∵E為AD中點，
∴OE=

1

2

AD=

1

2

×10=5，
①當(dāng)OP=OE時，P點坐標(biāo)（-5，0）和（5，0）；
②當(dāng)OE=PE時，此時點P與D點重合，即P點坐標(biāo)為（8，0）；
③如圖，當(dāng)OP=EP時，過點E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分線PF，交OE于點F，交x軸于點P，
∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK=

1

2

OA=3，
∴OK=

OE2-EK2

=4，
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK，
即OP：5=

5

2

：4，
解得：OP=

25

8

，
∴P點坐標(biāo)為（

25

8

，0）．
∴其余所有符合這個條件的P點坐標(biāo)為：（8，0）或（

25

8

，0）．
故答案為：（8，0）或（

25

8

，0）．

點評：此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．