Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連接OC交⊙O于E點(diǎn)，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點(diǎn)G．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若sin∠BAD=

4

5

，⊙O的半徑為5，求DF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD、OB，求出△COD≌△COB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ODC=∠OBC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出∠A=∠BDG，設(shè)BD=5x，BG=4x，求出DG=3x，根據(jù)勾股定理求出x，即可求出DG，根據(jù)垂徑定理求出DF=2DG，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OD，BD．

∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COD=∠COB，
在△COD和△COB中，

OC=OC ∠COD=∠COB OD=OB

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC⊥AB，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DGB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠BDG=90°，
∴∠BAD=∠BDG，
∵sin∠BAD=

4

5

，
∴sin∠BDG=

4

5

=

BG

BD

，
設(shè)BD=5x，BG=4x，由勾股定理得：DG=3x，
在Rt△DGO中，OD=5，BO=5，GO=4x-5，DG=3x，由勾股定理得：5²=（3x）²+（4x-5）²，
解得：x=

8

5

（x=0舍去），
DG=3x=

24

5

，
∵直徑AB⊥DF，
∴DF=2DG=

48

5

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定，勾股定理，圓周角定理，垂徑定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．