Question

已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，連接MB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P滿足△PBM是直角三角形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0），將該拋物線繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為M′，求∠MBM′的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）
∴，
解得：，
∴y=-x²+2x+3；
∴y=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），
①若∠MPB=90°，如圖1，過點(diǎn)M作ME⊥x軸，MF⊥y軸，
∴∠MFP=∠BOP=90°．
∵∠MPB=90°，
∴∠MPF=∠PBO，
∴Rt△PFM∽Rt△BOP，
∴．
∴，
解得：y₁=1，y₂=3
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），（0，3）；
②若∠PMB=90°，如圖2，過點(diǎn)M作ME⊥x軸，MF⊥y軸，
同理，Rt△PFM∽Rt△BEM，
∴，
解得：y=
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （0，）
③若∠MBP=90，如圖3，過點(diǎn)M作ME⊥x軸，MF⊥y軸，
同理，Rt△POB∽Rt△BEM，
∴，
解得：y=-，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （0，-）．
綜上：△PBM是直角三角形時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），（0，3），（0，），（0，-）．

（3）由題意可知：B（3，0），M（1，4），Q（8，0），點(diǎn)M，M′關(guān)于點(diǎn)Q中心對稱，
∴M′（15，-4），
連結(jié)M′B，并延長M′B交y軸于點(diǎn)D，
由y_M′D=-+1，
∴D（0，1）．
連結(jié)MD，
∵在Rt△DFM和Rt△DOB中

∴Rt△DFM≌Rt△DOB（SAS），
∴MD=BD．
∴△DBM是等腰直角三角形，
∴∠DBM=45°，
∴∠MBM′=135°．
分析：（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求出a、b的值就可以求出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），分三種情況進(jìn)行討論，若∠MPB=90°，如圖1，過點(diǎn)M作ME⊥x軸，MF⊥y軸，通過證明Rt△PFM∽Rt△BOP，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論，∠PMB=90°，如圖2，過點(diǎn)M作ME⊥x軸，MF⊥y軸，若∠MBP=90，如圖3，過點(diǎn)M作ME⊥x軸，MF⊥y軸，類似的方法證明三角形相似就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由旋轉(zhuǎn)可以求出M′的坐標(biāo)，連結(jié)M′B，并延長M′B交y軸于點(diǎn)D，求出M′D的解析式，求出D的坐標(biāo)，通過得出Rt△DFM≌Rt△DOB就可以而出MD=BD．進(jìn)而△DBM是等腰直角三角形，從而可以得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解答是關(guān)鍵．