(2012•河池)如圖,已知AB是⊙O的直徑,⊙O過BC的中點D,且DE⊥AC于點E.
(1)試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若∠C=30°,CE=6,求⊙O的半徑.
分析:(1)連接OD,只要證明OD⊥DE即可.此題可運用三角形的中位線定理證OD∥AC,因為DE⊥AC,所以OD⊥DE.
(2)通過相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的定義求出AB或圓的半徑的值即可.
解答:(1)證明:連接OD.
∵D是BC的中點,O是AB的中點,
∴OD∥AC,
∴∠CED=∠ODE.           
∵DE⊥AC,
∴∠CED=∠ODE=90°.      
∴OD⊥DE,OD是圓的半徑,
∴DE是⊙O的切線.        

(2)解:連接AD,
∵AB為直徑,
∴∠BDA=90°,
∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°,
在Rt△CED中,cos∠C=
CE
CD
,cos30°=
6
CD
,
解得:CD=4
3

∵點D為BC的中點,
∴BD=CD=4
3
,
∴AC=AB,
∴∠B=∠C=30°,
在Rt△ABD中.cos∠B=
BD
AB
,cos30°=
4
3
AB
,
解得AB=8,
故⊙O的半徑為4.
點評:本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.
練習冊系列答案
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k
x
(x>0)
的圖象交EF于點B,則點B的坐標為
(4,
1
2
(4,
1
2

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(2012•河池)如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標系,拋物線y=-
1
2
x2+
7
2
x+4經(jīng)過A、B兩點.
(1)寫出點A、點B的坐標;
(2)若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移,分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和點P,連接PA、PB.設直線l移動的時間為t(0<t<4)秒,求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出四邊形PBCA的最大面積;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在一點P,使得△PAM是直角三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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