Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸的正半軸交于點C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的兩個根（x₁＜x₂），且點C的坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）請直接寫出直線AC和BC的解析式；
（3）如果P是線段AC上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作直線y=m（m為常數(shù)），與直線BC交于點Q，則在x軸上是否存在點R，使得以PQ為一腰的△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）設(shè)直線y=kx+2k（k＞0）與線段OC交于點D，與（1）中的拋物線交于點E，若S_△CDE=S_△AOE，請直接寫出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B兩點坐標(biāo)，再將A、B、C三點坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)將A、B、C三點坐標(biāo)即可寫出直線AC和BC的解析式；
（3）根據(jù)題中已知條件可知PQ∥AB，結(jié)合三角形相似的性質(zhì)求出m的值，點P在直線AC上，即可求出P點坐標(biāo)和Q點坐標(biāo)，進而求得R點坐標(biāo)；
（4）根據(jù)三角形面積相等的性質(zhì)便可直接寫出點E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-x-6=0，
得x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c，

4a-2b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=- 1 2 b= 1 2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+3，

（2）直線AC的解析式：y=

3

2

x+3；（4分）
直線BC的解析式：y=-x+3．（5分）（6分）

（3）存在滿足條件的點R，并設(shè)直線y=m與y軸的交點E（0，m），
由（1）知：|AB|=5，|OC|=3，
∵點P不與點A、C重合，
∴點E（0，m）不與點O、C重合．
∴0＜m＜3，由于PQ為等腰直角三角形PQR的一腰，
過點P作PR₁⊥x軸于點R₁，則∠R₁PQ=90°，
|PQ|=|PR₁|=|OE|=m，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB．
∴

|PQ|

|AB|

=

|EC|

|OC|

，
即

m

5

=

3-m

3

解得m=

15

8

，
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
∵點P在直線AC上，
∴

2

3

x_P+3=

15

8

，
解得x_P=-

3

4

，
P（-

3

4

，

15

8

），
∴點R₁（-

3

4

，0）．
過點Q作QR₂⊥x軸于點R₂，則∠R₂QP=90°，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴點R₂（

9

8

，0），
所以存在滿足條件的點R，他們分別是R₁（-

3

4

，0），R₂（

9

8

，0）；

（4）E（2，2）．（14分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的證明及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．