已知:如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為4的⊙Q與y軸相切于點(diǎn)O,圓心Q在x軸的負(fù)半軸上.精英家教網(wǎng)
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出圓心Q的坐標(biāo);
(2)設(shè)一次函數(shù)y=-2mx+2m的圖象與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A、B,且T在y軸上,OT=2,連接QT,∠OQT=∠OBA.
①求m的值;
②試問(wèn)在y=-2mx+2m的圖象上是否存在點(diǎn)P,使得⊙P與⊙Q、y軸都相切?若存在,請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)依題意易得圓心Q的坐標(biāo)為(-4,0).
(2)首先證明△QOT∽△BOA,利用線段比求出m值,
求出m值后,然后分情況討論點(diǎn)P在y軸的位置(點(diǎn)P在y軸的左側(cè);點(diǎn)P在y軸的右側(cè)).
解答:解:(1)Q(-4,0).

(2)
①如圖1,∵∠OQT=∠OBA,∠QOT=∠BOA,
∴△QOT∽△BOA,
QO
OT
=
OB
OA
,
在y=-2mx+2m中,令x=0,則y=2m,OB=2m,
令y=0,則x=1,OA=1,
4
2
=
2m
1
,解得m=1;
②由①得m=1,則直線AB的解析式為:y=-2x+2;
(i)若點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí),如圖2,設(shè)⊙P的半徑為r(r>0),
∵點(diǎn)P在直線上,∴點(diǎn)P(-r,2r+2)
連接PQ,作PH⊥y軸于點(diǎn)H,作PC⊥x軸于點(diǎn)C,則四邊形PCOH是矩形.
∴PH=CO=r,PC=2r+2,CQ=4-r,
以P為圓心,PH的長(zhǎng)為半徑作⊙P,則⊙P與⊙Q、y軸都相切.
∵⊙P與⊙Q外切,
∴PQ=r+4,
在Rt△PQC中,由勾股定理,得:PQ2=PC2+CQ2
∴(r+4)2=(2r+2)2+(4-r)2
整理得:r2-2r+1=0,解得:r=1,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,4),
(ii)若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí),如圖3,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),顯然符合題意.
在y=-2x+2中,令y=0,則x=1.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)
綜上,存在符合條件的兩個(gè)點(diǎn)P,坐標(biāo)分別為(-1,4)或(1,0).
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點(diǎn)評(píng):本題考查的是一次函數(shù)與圖象結(jié)合的綜合應(yīng)用,同時(shí)考生要注意借助輔助線的應(yīng)用,難度中上.
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(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PODB是平行四邊形?
(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得ODQP為菱形?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)△OPD為等腰三角形時(shí),寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不必寫(xiě)過(guò)程).

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(1)求梯形ODPC的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.
(2)t為何值時(shí),四邊形PODB是平行四邊形?
(3)在線段PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得ODQP為菱形.若存在求t值,若不存在,說(shuō)明理由.
(4)當(dāng)△OPD為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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