Question

已知：關(guān)于x的方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）拋物線C：y=-x²-（m-4）x+3（m-1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)．若m≤-1且直線l₁：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求拋物線C的函數(shù)解析式；
（3）在（2）的條件下，直線l₁：繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到直線l₂：y=kx+b，設(shè)直線l₂與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線C交于點(diǎn)M（M不與點(diǎn)A重合），當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）△=（m-4）²-4[-3（m-1）]=（m+2）²，
∵方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，
∴m≠-2；

（2）拋物線y=-x²-（m-4）x+3（m-1）中，令y=0，
則x²+（m-4）x-3（m-1）=0，
解得：x₁=3，x₂=1-m．
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（1-m，0），
∵直線l₁：y=-x-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0）時(shí)-×3-1=0，
解得m=-，
當(dāng)點(diǎn)A坐標(biāo)為（1-m，0）時(shí)，-×（1-m）-1=0，
解得m=2或m=-1，
又∵m≤-1，
∴m=-1且A（2，0），
∴拋物線C的解析式為y=-x²+5x-6；

（3）設(shè)M（x_M，-x_M²+5x_M-6），
①當(dāng)點(diǎn)M在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，可證=，
若=，則=，
此時(shí)x_M=5，M（5，-6），
過(guò)點(diǎn)A的直線l₂：y=kx+b的解析式為y=kx-2k，M（5，-6）時(shí)，5k-2k=-6，
求得k=-2；
②當(dāng)點(diǎn)M與A點(diǎn)重合時(shí)直線l₂與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，
解得，
則x²+（k-5）x+6-2k=0，
令△=（k-5）²-4（6-2k）=0，求得k=1；
③當(dāng)點(diǎn)M在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，
可證=，
若=，則=，此時(shí)x_M=-1，則M的坐標(biāo)是：（-1，-12），
則-k-2k=-12，解得k=4．
綜上所述，當(dāng)時(shí)-2≤k≤4且k≠1．
分析：（1）方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則判別式△＞0，據(jù)此即可得到關(guān)于m的不等式求得m的范圍；
（2）求得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，y=-x-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A點(diǎn)，則A可能是兩個(gè)交點(diǎn)中的任意一個(gè)，分兩種情況進(jìn)行討論，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式，即可求得m的值；
（3）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)M在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，可得=，據(jù)此即可求得M的橫坐標(biāo)，則M的坐標(biāo)可以得到，代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求得k值；
當(dāng)點(diǎn)M與A點(diǎn)重合時(shí)直線l₂與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組，只有一個(gè)解，利用根的判別式即可求解；
當(dāng)點(diǎn)M在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，可證=，可以求得M的橫坐標(biāo)，則M的坐標(biāo)可以得到，代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求得k值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．