如圖所示,拋物線y=mx2+8mx+12n與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),在第二象限內(nèi)精英家教網(wǎng)拋物線上的一點C,使△OCA∽△OBC,且AC:BC=
3
:1,若直線AC交y軸于P.
(1)當(dāng)C恰為AP中點時,求拋物線和直線AP的解析式;
(2)若點M在拋物線的對稱軸上,⊙M與直線PA和y軸都相切,求點M的坐標(biāo).
分析:(1)設(shè)出拋物線y=mx2+8mx+12n與x軸交于A、B兩點的坐標(biāo),利用△OCA∽△OBC,證得△ABC為直角三角形,進(jìn)一步求得P點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求得直線解析式;
(2)利用拋物線的對稱性,首先拋物線解析式及雙切線的性質(zhì)求得點M橫坐標(biāo),再進(jìn)一步利用三角形全等的性質(zhì)和(1)所求直線解決問題.
解答:解:(1)設(shè)y=mx2+8mx+12n與x軸交于A、B兩點,A(x1,0)、B(x2,0),
在Rt△APO中,
∵C為AP中點,
OC=
1
2
AP=AC=CP
,
∵△OCA∽△OBC,
OC
OB
=
OA
OC
=
AC
BC
=
3

設(shè)AC=
3
k,BC=k,OA?OB=OC2=3k2
,
OC=
3
k,PC=
3
k,OB=k,OA=3k,AB=2k,OP=
3
k

在△ABC中,
∵BC2+AC2=AB2
∴∠ACB=90°,∠CAB=30°.
x1+x2=-BO-AO=-(AO+BO)=-
8m
m
=-8

∴-k-3k=-4k=-8,
∴k=2.
∴A(-6,0),B(-2,0),
∴OP=2
3
,P(0,2
3
)

設(shè)AP直線y=knx+2
3
,A(-6,0)代入得0=-6kn+2
3
,
∴kn=
3
3
,直線AP為y=
3
3
x+2
3
;

(2)如圖,
精英家教網(wǎng)設(shè)拋物線的對稱軸為M1M2,由題意M1到y(tǒng)軸距離M1P1=M1N1(N1為M1N1⊥AP的垂足).
同理M2P2=M2N2
y=-
3
3
x2-
8
3
3
x-4
3
,
-
b
2a
=-4

∴M1和M2的橫坐標(biāo)均為-4.
設(shè)M1M2與AP交于Q點,M1N1=M2N2=4=M1P1=M2P2=4,
OP=
3
k,AP=2
3
k
,
∴∠PAO=30°,∠AQM2=60°,
將Q點橫坐標(biāo)-4代入直線AP方程:y=
3
3
×(-4)+2
3
=-
4
3
3
+
6
3
3
=
2
3
3
;
∵△M1QN1≌△M2QN2,
M1Q=M2Q=
4
3
×2=
8
3
3

∴M1的縱坐標(biāo)=
8
3
3
+
2
3
3
=
10
3
3

M1(-4,
10
3
3
)

∴M2點的縱坐標(biāo)為(
8
3
3
-
2
3
3
)=
6
3
3
=2
3
的相反數(shù)-2
3

∴M2(-4,-2
3
).
綜上,拋物線:y=-
3
3
x2-
8
3
3
x-4
3
,直線AP:y=
3
3
x+2
3
M1(-4,
10
3
3
),M2(-4,-2
3
)
點評:此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,三角形相似的性質(zhì),二次函數(shù)的對稱性,雙切線的性質(zhì)解決問題.
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(2)設(shè)點P在該拋物線上滑動,且滿足條件S△PAB=1的點P有幾個?并求出所有點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線交y軸于點C,問該拋物線對稱軸上是否存在點M,使得△MAC的周長最?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點E為拋物線的頂點,點C為拋物線與x軸的另一交點,點D為y軸上一點,且DC=DE,求出點D的坐標(biāo);
(3)在直線DE上存在點P,使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似,請你直接寫出所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

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(1997•陜西)如圖所示,拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析表達(dá)式只可能是( 。

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①當(dāng)∠OPA=90°時,求拋物線的頂點P的坐標(biāo)及解析表達(dá)式;
②求如圖所示的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)在-
1
2
≤x≤
1
2
時的最大值和最小值.

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