Question

如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．

（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；

（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ．你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)．

【專題】探究型．

【分析】（1）根據(jù)圖形就可以猜想出結(jié)論．

（2）要證BQ=AP，可以轉(zhuǎn)化為證明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要證明BQ⊥AP，可以證明∠QMA=90°，只要證出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可證出．

（3）類比（2）的證明就可以得到，結(jié)論仍成立．

【解答】解：（1）AB=AP；AB⊥AP；

（2）BQ=AP；BQ⊥AP．

證明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，

∴∠EPF=45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠CPQ=45°．

∴CQ=CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=AP．

②如圖，延長BQ交AP于點M．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠1=∠2．

∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，

∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．

∴∠QMA=90°．

∴BQ⊥AP；

（3）成立．

證明：①如圖，∵∠EPF=45°，

∴∠CPQ=45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠CPQ=45°．

∴CQ=CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC=AC，CQ=CP，∠BCQ=∠ACP=90°，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．

∴BQ=AP．

②如圖③，延長QB交AP于點N，則∠PBN=∠CBQ．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠BQC=∠APC．

∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，

又∵∠CBQ=∠PBN，

∴∠APC+∠PBN=90°．

∴∠PNB=90°．

∴QB⊥AP．

【點評】證明兩個線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題．證明垂直的問題可以轉(zhuǎn)化為證明兩直線所形成的角是直角來解決．