Question

探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時應符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數a_n與層數n之間滿足關系式a_n=n²-32n+247，1≤n＜16，n為整數．
（1）例如，當n=2時，a₂=2²-32×2+247=187，則a₅=______，a₆=______；
（2）第n層比第（n+1）層多堆放多少個儀器箱；（用含n的代數式表示）
（3）如果不考慮儀器箱堆放所承受的壓力，請根據題設條件判斷儀器箱最多可以堆放幾層？并說明理由；
（4）設每個儀器箱重54N（牛頓），每個儀器箱能承受的最大壓力為160N，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的．
①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力；
②在確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）把n=5，n=6分別代入進行計算；
（2）方法一：分別表示出n+1和n時的代數式，然后進行減法運算；
方法二是通過計算幾個特殊值，找到規(guī)律，再進一步計算；
（3）令a_n≥0進行分析求解；
（4）①根據公式分別求得第二層和第一層的個數，再根據第二層的總重量除以第一層的個數進行計算；
②根據①中的方法進行估算，求得最多可以堆放的層數．
解答：解：（1）當n=5時，原式=25-160+247=112，
當n=6時，則原式=36-192+247=91．（2分）

（2）方法一：a_n-a_n+1=（n²-32n+247）-[（n+1）²-32（n+1）+247]=31-2n，（3分）
即第n層比第（n+1）層多堆放（31-2n）個儀器箱．（4分）
方法二：a₁-a₂=29=31-2×1，a₂-a₃=27=31-2×2，
a₃-a₄=25=31-2×3，a₄-a₅=23=31-2×4，（3分）
由此得a_n-a_n+1=31-2n，
即第n層比第（n+1）層多堆放（31-2n）個儀器箱．（4）

（3）方法一：a_n=（n²-32n+256）+247-256=（n-16）²-9，（5分）
由題設條件，當n≤13時，a_n≥0，
∴儀器箱最多可以堆放12層．（6分）
方法二：由a_n=n²-32n+247的圖象知：當1≤n＜16時，a_n隨n的增大而減小．
∵a₁₂=7＞0，a₁₃=0．
∴儀器箱最多可以堆放12層．（6分）

（4）①由題意得，
即第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為46.75N．（7分）
②當n=5時，第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為：

當n=6時，第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為：

因此，該儀器箱最多可以堆放5層．（8分）
點評：本題體現了“估算”思想，體現了“優(yōu)選”思想，對這類問題能從“中點”處、“黃金分割點”處思考，是學生數學素養(yǎng)的體現．此題要能夠根據所給的公式進行分析計算．