精英家教網(wǎng)如圖,已知△BEC是等邊三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交點(diǎn)為O.
(1)求證:△AEC≌△DEB;
(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求圖中陰影部分的面積.
分析:(1)在△AEB和△DEC中,已知AE=DE,BE=CE,且夾角相等,根據(jù)邊角邊可證全等.
(2)由圖可知,在連接EO并延長(zhǎng)EO交BC于點(diǎn)F,連接AD之后,整個(gè)圖形是一個(gè)以EF所在直線對(duì)稱的圖形.即△AEO和△DEO面積相等,只要求出其中一個(gè)即可,而三角形AEO面積=
1
2
•OE•FB,所以解題中心即為求出OE和FB,有(1)中結(jié)論和已知條件即可求解.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:∵∠AEB=∠DEC=90°,
∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,
∵△BEC是等邊三角形,
∴CE=BE,
又AE=DE,
∴△AEC≌△DEB.

(2)解:連接EO并延長(zhǎng)EO交BC于點(diǎn)F,連接AD.由(1)知AC=BD.
∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴AB∥DC,AB=
AC2-BC2
=
BD2-BC2
=CD,
∴四邊形ABCD為平行四邊形且是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,
又∵BE=CE,
∴OE所在直線垂直平分線段BC,
∴BF=FC,∠EFB=90°.
∴OF=
1
2
AB=
1
2
×2=1,
∵△BEC是等邊三角形,
∴∠EBC=60°.
在Rt△AEB中,∠AEB=90°,
∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°,
∴BE=AB•cos30°=
3
2
=
3
,
在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,
∴BF=BE•cos60°=
3
×
1
2
=
3
2
,
EF=BE•sin60°=
3
×
3
2
=
3
2

∴OE=EF-OF=
3
2
-1
=
1
2
,
∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,
∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE
∴S陰影=2S△AOE=2×
1
2
•EO•BF=2×
1
2
×
1
2
×
3
2
=
3
4
(cm2).
點(diǎn)評(píng):考查綜合應(yīng)用等邊三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性質(zhì),進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力.
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