【題目】如圖,在△ABC中,BE⊥AC于點E,BC的垂直平分線分別交AB、BE于點D、G,垂足為H,CD⊥AB,CD交BE于點F
(1)求證:△BDF≌△CDA,并寫出BF與AC的數(shù)量關(guān)系.
(2)若DF=DG,求證:①BE平分∠ABC; ②CE=BF.
【答案】(1)證明見解析,BF=AC;(2)①見解析;②見解析
【解析】
(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得BD=CD,由“AAS”可證△BDF≌△CDA,由全等三角形的性質(zhì)可得BF=AC;
(2)①由等腰三角形的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)可得∠DGF=∠DFG=∠BGH,由等角的余角相等可得∠DBF=∠FBC,即BE平分∠ABC;
②由△BDF≌△CDA可得BF=AC,由題意可證△ABE≌△CBE,可得AE=EC=AC,即CE=BF.
證明:(1)∵DH垂直平分BC,
∴BD=CD,
∵BE⊥AC, CD⊥AB,
∴∠A+∠DBF=90°,∠DBF+∠DFB=90°,∠ADC=∠FDB=90°,
∴∠A=∠DFB,且∠ADC=∠FDB,BD=CD,
∴△BDF≌△CDA(AAS),
∴BF=AC;
(2)①∵DF=DG,
∴∠DGF=∠DFG,
∵∠BGH=∠DGF,
∴∠DGF=∠DFG=∠BGH,
∵∠DBF+∠DFB=90°,∠FBC+∠BGH=90°,
∴∠DBF=∠FBC,
∴BE平分∠ABC ;
②∵△ADC≌△FDB,
∴BF=AC,
∵∠DBF=∠FBC,BE=BE,∠AEB=∠BEC=90°,
∴△ABE≌△CBE(ASA)
∴AE=CE,
∴AE=EC=AC,
∴CE=BF.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四張編號為A,B,C,D的卡片(除編號外,其余完全相同)的正面分別寫上如圖所示的正整數(shù)后,背面向上,洗勻放好.
(1)我們知道,滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a,b,c成為勾股數(shù),嘉嘉從中隨機抽取一張,求抽到的卡片上的數(shù)是勾股數(shù)的概率P1;
(2)琪琪從中隨機抽取一張(不放回),再從剩下的卡片中隨機抽取一張(卡片用A,B,C,D表示).請用列表或畫樹形圖的方法求抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率P2,并指出她與嘉嘉抽到勾股數(shù)的可能性一樣嗎?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】建立模型:
如圖1,已知△ABC,AC=BC,∠C=90°,頂點C在直線l上.
操作:
過點A作AD⊥l于點D,過點B作BE⊥l于點E.求證:△CAD≌△BCE.
模型應用:
(1)如圖2,在直角坐標系中,直線l1:y=x+4與y軸交于點A,與x軸交于點B,將直線l1繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到l2.求l2的函數(shù)表達式.
(2)如圖3,在直角坐標系中,點B(8,6),作BA⊥y軸于點A,作BC⊥x軸于點C,P是線段BC上的一個動點,點Q(a,2a﹣6)位于第一象限內(nèi).問點A、P、Q能否構(gòu)成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形,若能,請求出此時a的值,若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知過原點O的兩直線與圓心為M(0,4),半徑為2的圓相切,切點分別為P、Q,PQ交y軸于點K,拋物線經(jīng)過P、Q兩點,頂點為N(0,6),且與x軸交于A、B兩點.
(1)求點P的坐標;
(2)求拋物線解析式;
(3)在直線y=nx+m中,當n=0,m≠0時,y=m是平行于x軸的直線,設直線y=m與拋物線相交于點C、D,當該直線與⊙M相切時,求點A、B、C、D圍成的多邊形的面積(結(jié)果保留根號).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A、B為x軸上兩點,C、D為y軸上的兩點,經(jīng)
過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線,我們把這條封
閉曲線稱為“蛋線”.已知點C的坐標為(0,),點M是拋物線C2:(<0)的頂點.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當△BDM為直角三角形時,求的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ADB≌△EDB,△BDE≌△CDE,B,E,C在一條直線上.下列結(jié)論:①BD是∠ABE的平分線;②AB⊥AC;③∠C=30°;④線段DE是△BDC的中線;⑤AD+BD=AC.其中正確的有( )個.
A.2B.3C.4D.5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑OC與弦AB交于點D,連結(jié)OA,AC,CB,BO,則下列條件中,無法判斷四邊形OACB為菱形的是( )
A. ∠DAC=∠DBC=30° B. OA∥BC,OB∥AC C. AB與OC互相垂直 D. AB與OC互相平分
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時,發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AF、BE是△ABC的中線,AF⊥BE于點P,像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”.設BC=a,AC=b,AB=c.
(特例探究)
(1)如圖1,當tan∠PAB=1,c=2時,a= ,b= ;
如圖2,當∠PAB=30°,c=4時,a= ,b= ;
(歸納證明)
(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論.
(拓展證明)
(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點,且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點G,AD=6,AB=6,求AF的長.
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