Question

如圖1，矩形MNPQ中，點E，F(xiàn)，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且，．
理解與作圖：
（1）在圖2，圖3中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，試利用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．
計算與猜想：
（2）求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值？
啟發(fā)與證明：
（3）如圖4，為了證明上述猜想，小華同學(xué)嘗試延長GF交BC的延長線于M，試利用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)證明（2）中的猜想．

Answer 1

（1）作圖如下：

（2）是；（3）見解析

解析試題分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出相等的角即可得到反射四邊形；
（2）圖2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的長度，然后即可得到周長，圖3中利用勾股定理求出EF=GH，F(xiàn)G=HE的長度，然后求出周長，從而得到四邊形EFGH的周長是定值；
（3）證法一：延長GH交CB的延長線于點N，再利用“角邊角”證明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，從而得到MN=2BC，再證明GM=GN，過點G作GK⊥BC于K，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出MK=MN=8，再利用勾股定理求出GM的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長；
證法二：利用“角邊角”證明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=MF，EC=MC，再根據(jù)角的關(guān)系推出∠M=∠HEB，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得HE∥GF，同理可證GH∥EF，所以四邊形EFGH是平行四邊形，過點G作GK⊥BC于K，根據(jù)邊的關(guān)系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長．
（1）作圖如下：

（2）在圖2中，，
∴四邊形EFGH的周長為．
在圖3中，，．
∴四邊形EFGH的周長為．
猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值．
（3）證法一：延長GH交CB的延長線于點N．

∵，，  
∴．
而，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．
∴，．
同理：，．
∴．
∵，，
∴．   
∴．
過點G作GK⊥BC于K，則．
∴．
∴四邊形EFGH的周長為．
證法二：∵，，   
∴．
而，   
∴Rt△FCE≌Rt△FCM．
∴，．
∵，，
而，  
∴．
∴HE∥GF．   
同理：GH∥EF．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∴．    
而，
∴Rt△FDG≌Rt△HBE．    
∴．
過點G作GK⊥BC于K，則．
∴．
∴四邊形EFGH的周長為．
考點：本題考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，
點評：解答本題的關(guān)鍵讀懂題意，準確理解“反射四邊形EFGH”特征．