Question

在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）幾秒鐘后△PBQ是等腰三角形？
（2）幾秒鐘后△PQB的面積為8cm²？
（3）幾秒鐘后，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

分析：分別寫(xiě)出BP、BQ的關(guān)系式，
（1）△PBQ是等腰三角形，則根據(jù)BP=BQ即可求得t的大小，即可解題；
（2）寫(xiě)出△PQB的面積的表達(dá)式，根據(jù)BQ、BP的關(guān)系式和面積為10cm²即可求得t的大小，即可解題
（3）要使得△BPQ∽△BAC，則使得

BP

AB

=

BQ

BC

即可．

解答：解：設(shè)t秒后，則BP=6-t，BQ=2t，
（1）△PBQ是等腰三角形，則BP=BQ即6-t=2t，解得t=2；
（2）△PQB的面積為

1

2

BP•BQ=

1

2

（6-t）（2t）=8，即（t-1）（t-5）=0，解得t=2或6．
（3）①△BPQ∽△BAC，則

BP

AB

=

BQ

BC

，即2t=2（6-t），解得t=3．
②△BPQ∽△BCA，則有BP：BC=BQ：AB，∴6-t：12=2t：6，解得t=1.2
故當(dāng)t=3秒或t=1.2秒時(shí)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形面積的計(jì)算及一元二次方程的應(yīng)用，考查了等腰三角形腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中正確列出關(guān)于t的方程式是解題的關(guān)鍵．