Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足為點D．M為邊AB上任意一點，點N在射線CB上（點N與點C不重合），且MC=MN．設(shè)AM=x．
（1）如果CD=3，AM=CM，求AM 的長；
（2）如果CD=3，點N在邊BC上．設(shè)CN=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）如果∠ACB=90°，NE⊥AB，垂足為點E．當(dāng)點M在邊AB上移動時，試判斷線段ME的長是否會改變？說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)可知AD=AB=4，根據(jù)勾股定理可求出AC=5，再通過證明△ACM∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)可得，進而求出AM的長；
（2）過點M作MF⊥BC，垂足為點F．由  AM=x，得  BM=8-x，又因為∠A=∠B，所以△MBF∽△ACD，由相似三角形的性質(zhì)可知：，進而求出y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域即可；
（3）當(dāng)點M在邊AB上移動時，線段ME的長不變，ME=4是定值，此題要分（ⅰ）如果點N在邊BC上，可知點M在線段AD上；（ⅱ）如果點N在邊CB的延長線上，可知點M在線段BD上，且點E在邊AB的延長線上兩種情況討論分別求出ME=4．
解答：解：（1）∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴．
由勾股定理，得  ．
∵AM=CM，
∴∠A=∠ACM．
即得∠ACM=∠B．
∴△ACM∽△ABC．
∴．
∴．即得  ．

（2）過點M作MF⊥BC，垂足為點F．
由  AM=x，得  BM=8-x．
∵MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB=∠ADC=90°．
又∵∠A=∠B，
∴△MBF∽△ACD．
∴．即得  ．
∴．
∴．
∵MC=MN，MF⊥BC，
∴．
即得  ．
定義域為  ；

（3）當(dāng)點M在邊AB上移動時，線段ME的長不變，ME=4．
由點N在射線CB上，可知點N在邊BC上或點N在邊CB的延長線上．
（�。┤绻�點N在邊BC上，可知點M在線段AD上．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
又∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，
∴CD=BD=4．
即得∠BCD=45°．
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC．
∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，
∴∠MCD=∠NME．
又∵CD⊥AB，NE⊥AB，
∴∠CDM=∠MEN=90°．
∴△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
（ⅱ）如果點N在邊CB的延長線上，可知點M在線段BD上，且點E在邊AB的延長線上．
于是，由∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，
∠BCD=∠MCD+∠MCN=45°，
∠MCN=∠MNC，
得∠MCD=∠BMN．
再由  MC=MN，∠CDM=∠MEN=90°，
得△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME=CD=4．
∴由（�。�、（ⅱ）可知，當(dāng)點M在邊AB上移動時，線段ME的長不變，ME=4．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想，題目的綜合性強、難度大一道不錯的中考壓軸題．