Question

已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
（1）求證：無論k為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；
（3）k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）若要證明方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只需證明△＞0．
（2）若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，則根據(jù)勾股定理，AB²+AC²=25，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得k的值即可．
（3）此題要分兩種情況進(jìn)行討論，若AB=BC=5時(shí)，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC時(shí)，則△=0，列出關(guān)于k的方程，解出k的值即可．

解答：解：（1）因?yàn)椤?b²-4ac=[-（2k+3）]²-4×1×（k²+3k+2）=1＞0，
所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
則AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC=25，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得k=2或k=-5．
根據(jù)三角形的邊長必須是正數(shù)，因而兩根的和2k+3＞0且兩根的積3k+2＞0，解得k＞-

2

3

∴k=2．

（3）若AB=BC=5時(shí)，5是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的實(shí)數(shù)根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
由（1）知，無論k取何值，△＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：AB+AC=2k+3，當(dāng)k=3時(shí)，AB+AC=9，則周長是9+5=14；
當(dāng)k=4時(shí)，AB+AC=8+3=11．則周長是11+5=16．

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系是：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．在解題的過程中注意不要忽視三角形的邊長是正數(shù)這一條件．