Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線．交BC于點E．

（1）求證：BE=EC

（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，則DB=　 　；

②當∠B=　 　度時，以O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①3；②45.

【解析】

（1）證出EC為⊙O的切線；由切線長定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出結論；

（2）①由含30°角的直角三角形的性質得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出DE；

②由等腰三角形的性質，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，即可得到結論．

（1）證明：連接DO．

∵∠ACB=90°，AC為直徑，

∴EC為⊙O的切線；

又∵ED也為⊙O的切線，

∴EC=ED，

又∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°

又∵∠B+∠A=90°，

∴∠BDE=∠B，

∴BE=ED，

∴BE=EC；

（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4，

∴BC==6，

∵AC為直徑，

∴∠BDC=∠ADC=90°，

由（1）得：BE=EC，

∴DE=BC=3，

故答案為：3；

②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴∠A=45°，

∵OA=OD，

∴∠ADO=45°，

∴∠AOD=90°，

∴∠DOC=90°，

∵∠ODE=90°，

∴四邊形DECO是矩形，

∵OD=OC，

∴矩形DECO是正方形．

故答案為：45．