Question

如圖（1），拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．［圖（2）、（3）為解答備用圖］

（1）　　　　　，點(diǎn)A的坐標(biāo)為　　　　　　，點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　　；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；

（3）在拋物線上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．坐標(biāo)為　　　　，點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　　　　　

Answer 1

解：（1）（3分），A（-1，0），

B（3，0）．

（2）（4分）如圖（1），拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-4），連結(jié)OM．

則 △AOC的面積=，△MOC的面積=，

△MOB的面積=6，

∴ 四邊形 ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．

說(shuō)明：也可過(guò)點(diǎn)M作拋物線的對(duì)稱軸，將四邊形ABMC的面

積轉(zhuǎn)化為求1個(gè)梯形與2個(gè)直角三角形面積的和．

（3）（7分）有兩種情況：

如圖（3），過(guò)點(diǎn)B作BQ₁⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q₁、交y軸于點(diǎn)E，連接Q₁C．

∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）．

∴ 直線BE的解析式為．

由 解得 

∴ 點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（-2，5）．

如圖（4），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q₂、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ₂．

∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴ 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0）．

∴ 直線CF的解析式為．

由 解得 

∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（1，-4）．

綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC為直角邊的直角三角形．

說(shuō)明：如圖（4），點(diǎn)Q₂即拋物線頂點(diǎn)M，直接證明△BCM為直角三角形同樣得分．