Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點E是弧CB的中點，EF⊥AC于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）連接CE、AE、CO，AE交CO于N，若CE=6，AE=8，求

AN

NE

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OE．欲證EF是⊙O的切線，只需證明EF⊥OE即可；
（2）如圖2，連接BE．在直角△AEB中根據勾股定理求得AB=10．
方法一：由相似三角形（△FAE∽△EAB）對應邊成比例求得AF=6.4；然后作OM⊥AF于M構造正方形MOEF，可以利用正方形的性質和圖形中相關線段間的數量關系來求

AN

NE

的值；
方法二：如圖1，連接BC交OE于H，構造矩形FCHE．由矩形的性質、勾股定理以及圖形中相關線段的數量關系來求

AN

NE

的值．

解答：（1）證明：如圖1，連接OE．
∵點E是弧CB的中點，
∴∠CAE=∠EAO=∠OEA，
∴OE∥AC．
又∵EF⊥AC于F，
∴OE⊥EF．
又∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是圓點O的切線；

（2）如圖2，連接BE．則BE=CE=6，∠AEB=90°，
又∵AE=8，
∴AB=10．
方法一：∵△FAE∽△EAB，
∴AE²=AF•AB，
∴AF=6.4；
作OM⊥AF于M，則四邊形MOEF是正方形，
∴AM=AF-OE=1.4，
∴AC=2AM=2.8，
∴

AN

NE

=

AC

OE

=

2.8

5

=

14

25

．

方法二：如圖1，連接BC交OE于H，則BC∥EF，
OE⊥BC，則5²-OH²=6²-（5-OH）²=BH²，
∴OH=1.4，
∴

AN

NE

=

AC

OE

=

2•HO

OE

=

14

25

．

點評：本題考查了切線的判定與性質，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．