Question

如圖，正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交邊CD于點E．將△BCE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，并且延長BE交DF于點G．
（1）求證：△BDG∽△DEG；
（2）求證：DG是EG和BG的比例中項；
（3）若EG•BG=4，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△BCE≌△DCF，則BE=DF，∠2=∠1，由BE平分∠DBC得到∠2=∠3，所以∠3=∠1，然后根據(jù)三角形相似的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由于△BDG∽△DEG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得DG：EG=BG：DG，即DG²=EG•BG；
（3）利用DG²=EG•BG，可計算出DG=2，由∠2=∠1，∠5=∠4得到∠DGE=∠BCE=90°，則BG⊥DF，由于BE平分∠DBC，則可判斷BG垂直平分DF，則DF=2DG，而BE=DF，所以BE=DG=4．

解答：（1）證明：∵△BCE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DCF，
∴△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，∠2=∠1，
∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
∴∠3=∠1，
而∠BGD=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG；

（2）證明：∵△BDG∽△DEG，
∴DG：EG=BG：DG，
∴DG²=EG•BG，
∴DG是EG和BG的比例中項；

（3）解：∵DG²=EG•BG=4，
∴DG=2，
∵∠2=∠1，
而∠5=∠4，
∴∠DGE=∠BCE=90°，
∴BG⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴DG=GF，
∵BE=DF，
∴BE=2DG，
∴BE=2×2=4．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對應(yīng)相等的兩三角形相似；兩個三角形相似的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．也考查等腰三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．