Question

已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠BAD=135°，AB=20，CD=40，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓．求證：在⊙A上，在⊙A內(nèi)，⊙A外都有線段DC上的點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

專題：常規(guī)題型,證明題

分析：計(jì)算圓心A到DC的最短距離AE與最長(zhǎng)距離AC，然后與半徑AB比較即可．

解答：證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DC，垂足為F，連接AC，
在四邊形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∵∠BAD=135°，
∴∠D=45°，
∵AE⊥DC，BF⊥DC，
∴△ADE和△BFC都是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BF=FC=

1

2

(DC-AB)=

1

2

×(40-20)=10，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AC²=AE²+EC²=10²+30²=1000，
∴AC=10

10

，
∵AE=10＜20，AC=10

10

＞20，
∴在⊙A上，在⊙A內(nèi)，⊙A外都有線段DC上的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查等腰梯形的性質(zhì)，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵：利用點(diǎn)與圓心的距離來(lái)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．