Question

（1）如圖，BE是∠ABD的平分線．CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大�。�
（2）在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不與B、C重合，求∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）連接AD、AG并延長．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理的推論進(jìn)行計算；
（2）由O不與B、C重合知，∠B、∠C均非直角，這樣，△ABC既可能是銳角三角形，又可能是鈍角三角形，應(yīng)分兩種情況討論．

解答：解：（1）連接AD、AG并延長．
∵∠BGM=∠ABG+∠BAG，∠CGM=∠CAG+∠ACG，
∴∠BGC=∠BAC+∠ABE+∠ACF．
∵∠BDN=∠ABD+∠DAB，∠CDN=∠ACD+∠DAC，
∴∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠BAC．
∵BE是∠ABD的平分線．CF是∠ACD的平分線，
∴∠ABE+∠ACF=

1

2

（∠ABD+∠ACD），
∴∠BAC=∠BGC-

1

2

（∠ABD+∠ACD）=∠BGC-

1

2

（∠BDC-∠BAC），即∠BAC=2∠BGC-∠BDC=80°．

（2）當(dāng)點(diǎn)O在三角形的內(nèi)部時，則∠BOC=∠EOF=360°-∠A-∠AFO-∠AEO=130°；
當(dāng)點(diǎn)O在三角形的外部時，則∠BOC=90°-（90°-50°）=50°．
故∠BOC=130°或50°．

點(diǎn)評：此題主要是三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用．注意：三角形的高的交點(diǎn)可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部．