Question

如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=CD，E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若DE=AB=3cm，CE=cm．
（1）試證明△ABC≌△EDC；
（2）試求出線段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠B=∠CDE，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（SAS）；

（2）解：∵△ABC≌△EDC，
∴AC=EC，∠ACB=∠ECD，
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ECD+∠ACD=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵CE=4cm，
∴AE=4×=8cm，
∴AD=AE-DE=8-3=5cm．
分析：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，從而求出∠B=∠CDE，然后根據(jù)“邊角邊”證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=EC，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACB=∠ECD，然后求出∠ACE=90°，得到△ACE是等腰直角三角形，求出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)AD=AE-DE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義，利用同角的補(bǔ)角相等求出夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．