Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在x軸下方的拋物線上，且△PAB的面積等于△ABC的面積，求點P的坐標；
（3）點Q是直線BC上的一個動點，若△QOB為等腰三角形，請寫出此時點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把點A、B、C的坐標代入解析式得到關于a、b、c的三元一次方程組，求解即可得到拋物線解析式；
（2）根據等底等高的三角形的面積相等可得點P到AB的距離等于3，再根據點P在x軸下方可知點P的縱坐標為-3，然后代入拋物線解析式求解即可得到點P的橫坐標，從而得解；
（3）根據點B、C的坐標求出OB、OC的長度，再根據勾股定理列式求出BC的長度，然后分①Q₁O=Q₁B時，過Q₁作Q₁D₁⊥x軸于D₁，根據等腰三角形三線合一可得點D₁是OB的中點，從而得到點Q₁是BC的中點；②點Q在x軸上方，Q₂B=OB時，過Q₂作Q₂D₂⊥x軸于D₂，利用∠OBC的正弦值求出Q₂D₂的長度，利用余弦值求出BD₂的長度，再求出OD₂，即可得到點Q₂的坐標；③點Q在x軸下方，Q₃B=OB時，過Q₃作Q₃D₃⊥x軸于D₃，根據對頂角相等，利用∠OBC的正弦值求出Q₃D₃的長度，利用余弦值求出BD₃的長度，再求出OD₃，即可得到點Q₃的坐標；④Q₄O=OB時，根據等腰三角形三線合一的性質求出BQ₄的長度，再過Q₄作Q₄D₄⊥x軸于D₄，利用∠OBC的正弦值求出Q₄D₄的長度，利用余弦值求出BD₄的長度，再求出OD₄，即可得到點Q₄的坐標．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=3

，
解得

a=- 3 4 b= 9 4 c=3

，
故拋物線的解析式為y=-

3

4

x²+

9

4

x+3；

（2）存在一點P，使△PAB的面積等于△ABC的面積．
∵△ABC的底邊AB上的高為3，
∴設△PAB的高為h，則|h|=3，
∵點P在x軸下方，
∴點P的縱坐標為-3，
∴-

3

4

x²+

9

4

x+3=-3，
整理得，x²-3x-8=0，
解得x₁=

3+ 41

2

，x₂=

3- 41

2

，
∴點P的坐標為（

3+ 41

2

，-3），（

3- 41

2

，-3）；

（3）∵點B（4，0），點C（0，3），
∴OB=4，OC=3，
根據勾股定理，BC=

OB2+OC2

=

42+32

=5，
①Q₁O=Q₁B時，過Q₁作Q₁D₁⊥x軸于D₁，則點D₁是OB的中點，
∴點Q₁是BC的中點，
∴Q₁（2，

3

2

）；
②點Q在x軸上方，Q₂B=OB時，過Q₂作Q₂D₂⊥x軸于D₂，
則Q₂D₂=BQ₂sin∠OBC=4×

3

5

=

12

5

，
BD₂=BQ₂cos∠OBC=4×

4

5

=

16

5

，
所以，OD₂=OB-BD₂=4-

16

5

=

4

5

，
所以，Q₂（

4

5

，

12

5

）；
③點Q在x軸下方，Q₃B=OB時，過Q₃作Q₃D₃⊥x軸于D₃，
則Q₃D₃=BQ₃sin∠OBC=4×

3

5

=

12

5

，
BD₃=BQ₃cos∠OBC=4×

4

5

=

16

5

，
所以OD₃=OB+BD₃=4+

16

5

=

36

5

，
所以點Q₃（

36

5

，-

12

5

）；
④Q₄O=OB時，根據等腰三角形三線合一的性質，BQ₄=2•OBcos∠OBC=2×4×

4

5

=

32

5

，
過Q₄作Q₄D₄⊥x軸于D₄，
則Q₄D₄=BQ₄sin∠OBC=

32

5

×

3

5

=

96

25

，
BD₄=BQ₄cos∠OBC=

32

5

×

4

5

=

128

25

，
所以，OD₄=OD₄-OB=

128

25

-4=

28

25

，
所以點Q₄（-

28

25

，

96

25

）；
綜上所述，點Q的坐標為Q₁（2，

3

2

），Q₂（

4

5

，

12

5

），Q₃（

36

5

，-

12

5

），Q₄（-

28

25

，

96

25

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，等底等高的三角形的面積相等，等腰三角形的性質以及解直角三角形，（3）要根據等腰三角形的三邊中不同的邊為腰長進行討論求解，情況比較復雜，作出圖形更形象直觀，且不容易漏解．