Question

（2011•東臺(tái)市二模）王老師從拉面的制作受到啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖，在數(shù)軸上截取從原點(diǎn)到1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段AB，對(duì)折后（點(diǎn)A與B重合）再均勻地拉成1個(gè)單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（如在第一次操作后，原先段AB上的

1

4

，

3

4

均變成

1

2

，

1

2

變成1，等），那么在線段AB上（除A、B）的點(diǎn)中，問第n次操作，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)之和是

2^n-2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可知下一次的操作把上一次的對(duì)應(yīng)點(diǎn)正好擴(kuò)大了2倍．因?yàn)榈谝淮尾僮骱�，原線段AB上的

1

4

，

3

4

均變成

1

2

，則第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是

1

4

和

3

4

，則它們的和可求．根據(jù)題意，將恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)列出數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，列出通式即可．

解答：解：第一次操作后，原線段AB上的

1

2

變?yōu)?，
第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)有2¹=2個(gè)，分別是

1

4

和

3

4

，其和為1，
第三次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)有2²=4個(gè)，分別是

1

8

、

3

8

、

5

8

和

7

8

，其和為2，
…，
可以推出第n次操作后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的通式為

1

2n

、

3

2n

…

2n-1

2n

，共有2^n-1個(gè)點(diǎn)，其和為

1+3+5+…+(2n-1)

2n

=

2n-1×2n 2

2n

=2^n-2．
故答案為：2^n-2．

點(diǎn)評(píng)：此題的難點(diǎn)是理解題意，能夠發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的變化規(guī)律：下一次的操作把上一次的對(duì)應(yīng)點(diǎn)正好擴(kuò)大了2倍．解答本題的難點(diǎn)是根據(jù)數(shù)據(jù)列出通式，方便比較數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系．