Question

已知點(diǎn)M（p，q）在拋物線y=x²-1上，若以M為圓心的圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是關(guān)于x的方程x²-2px+q=0的兩根．
（1）當(dāng)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙M在x軸上截得的弦長(zhǎng)是否變化？為什么？
（2）若⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)C構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，試求p、q的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂，將AB用|x₁-x₂|表示，再轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，用系數(shù)p、q來表示，從而得到AB的長(zhǎng)度變化情況；
（2）根據(jù)y=x²-1，求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出BC、AC的長(zhǎng)，由（1）又知AB的長(zhǎng)，然后分類討論構(gòu)成等腰三角形的情況，求出p、q的值．

解答：解：（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系知x₁+x₂=2p，x₁•x₂=q，
那么：AB=|x1-x2|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

p2-q

，
又因?yàn)镸在拋物線y=x²-1上，所以q=p²-1．故AB=2，即⊙M在x軸上截得的弦長(zhǎng)不變．

（2）C（0，-1），BC=

x22+1

，AC=

x12+1

，
①當(dāng)AC=BC，即x₁=-x₂時(shí)，p=0，q=-1；
②當(dāng)AC=AB時(shí)，x12+1=4，x1=±

3

，p=1+

3

，q=3+2

3

或p=1-

3

，q=3-2

3

；
③當(dāng)BC=AB時(shí)，x2=±

3

，p=-

3

-1，q=3+2

3

或p=

3

-1，q=3-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、圓的弦長(zhǎng)、兩點(diǎn)間的距離公式及等腰三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，考查了同學(xué)們的綜合運(yùn)用能力．