Question

某商業(yè)公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷(xiāo)售，對(duì)三月份至七月份該商品的售價(jià)和成本進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下：每件商品的售價(jià)M（元）與時(shí)間t（月）的關(guān)系可用一條線(xiàn)段上的點(diǎn)來(lái)表示（如圖1），每件商品的成本Q（元）與時(shí)間t（月）的關(guān)系可用一條拋物線(xiàn)的一部分上的點(diǎn)來(lái)表示（如圖2）．
（說(shuō)明：圖1，圖2中的每個(gè)實(shí)心黑點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售價(jià)和成本．）
請(qǐng)你根據(jù)圖象提供的信息回答：
（1）每件商品在3月份出售時(shí)的利潤(rùn)（利潤(rùn)=售價(jià)-成本）是多少元？
（2）求圖2中表示的每件商品的成本Q（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)自變量的取值范圍）；
（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利潤(rùn)W（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式嗎（請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，不要求寫(xiě)自變量的取值范圍）？若該公司共有此種商品30000件，準(zhǔn)備在一個(gè)月內(nèi)全部售完，請(qǐng)你計(jì)算一下至少可獲利多少元？

Answer 1

分析：（1）從圖易知3月份每件商品售價(jià)6元，成本1元，易求利潤(rùn)；
（2）根據(jù)圖象特征設(shè)解析式為頂點(diǎn)式易求解析式；
（3）根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算方法，顯然需求直線(xiàn)解析式，再求差，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)計(jì)算利潤(rùn)．

解答：解：（1）每件商品在3月份出售時(shí)的利潤(rùn)為5元；（1分）

（2）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4）
∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為Q=a（t-6）²+4
∵拋物線(xiàn)過(guò)（3，1）點(diǎn)
∴1=a（3-6）²+4
解得：a=-

1

3

∴Q=-

1

3

（t-6）²+4=-

1

3

t²+4t-8，其中t=3、4、5、6、7；（3分）

（3）設(shè)每件商品的售價(jià)M（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式為M=kt+b
∵線(xiàn)段過(guò)（3，6）、（6，8）兩點(diǎn)
∴3k+b=6 6k+b=8
解得：k=

2

3

，b=4
∴M=

2

3

t+4，其中t=3、4、5、6、7（4分）
所以每件商品的利潤(rùn)W（元）與時(shí)間t（月）的函數(shù)關(guān)系式為
W=M-Q=（

2

3

t+4）-（-

1

3

t²+4t-8）=

1

3

t²-

10

3

t+12（5分）
∴W=

1

3

（t-5）²+

11

3

，其中t=3、4、5、6、7
∴當(dāng)t=5時(shí)，W的最小值為

11

3

元（6分）
∴30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完，至少獲利30000×

11

3

=110000元．
答：30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完，至少獲利110000元．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題難度在第3個(gè)問(wèn)題：表示利潤(rùn)．運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值常用配方法或公式法．