Question

在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A（

1

2

，-

3

2

），過A點(diǎn)作x軸的平行線l，在l上有一不與A點(diǎn)重合的點(diǎn)B，連接OA，OB．將OA繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°到OA₁，OB繞O點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°到OB₁．
（1）當(dāng)B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖（1）．如果∠AOB=20°，∠A₁OB=110°，α=

 

．這時(shí)直線AB₁與直線A₁B有何特殊的位置關(guān)系證明你的結(jié)論．
（2）如果B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，△OAB的面積為S，直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)式，并指出t的取值范圍．
（3）當(dāng)α=60時(shí)，直線B₁A交y軸于D，求以D為頂點(diǎn)且經(jīng)過A點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）易知∠α=90°；
直線AB₁與直線A₁B可通過證△A₁OB和AOB₁全等得出∠AB₁O=∠A₁BO，因此兩角加上一個(gè)相等的對頂角后也應(yīng)該相等，由于∠_B1OB=α=90°，因此A₁B⊥AB₁．
（2）已知了A的坐標(biāo)和B的橫坐標(biāo)即可得出AB的長和AB邊上的高，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．（要注意的本題中，要保證線段的長均為正數(shù)）
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行求解，以B在A點(diǎn)右側(cè)為例進(jìn)行說明．
設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為M，根據(jù)A的坐標(biāo)不難得出∠AOM=30°，∠OAM=60°，因此當(dāng)α=60°時(shí)，A₁恰好在直線l上，且A₁，A關(guān)于y軸對稱，由此可得出A₁的坐標(biāo)．求拋物線的解析式關(guān)鍵還需知道D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)（1）的全等三角形可得出∠OAB₁=∠OA₁B=60°，因此∠AOD=∠ADO=30°，D，O關(guān)于直線l對稱由此可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）90．垂直，理由：
設(shè)AB₁與OB交于C．
在△A₁OB和△AOB₁中，

OA1=OA ∠A1OB=∠AOB1 OB=OB1

∴△A₁OB≌△AOB₁
∴∠A₁BO=∠AB₁O．又∠AB₁O+∠OCB₁=90°，∠OCB₁=∠ACB
∴∠ACB+∠A₁BO=90°
∴B₁A⊥A₁B．

（2）當(dāng)t＞

1

2

時(shí)，S=

3

4

（t-

1

2

）
當(dāng)t＜

1

2

時(shí)，S=

3

4

（t-

1

2

）
（或x≠

1

2

時(shí)）S=

3

4

|t-

1

2

|．

（3）當(dāng)B在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)．如圖（2）（畫圖）
∵A（

1

2

，-

3

2

），若l與y軸交于M．則OM=

3

2

，MA=

1

2

，
∴∠AOM=30°α=60時(shí)，A₁點(diǎn)在l上．
∴△OA₁A是等邊三角形．
∴∠AA₁O=60度．
與（1）同理得△A₁OB≌△AOB₁．
∴∠OAB₁=∠OA₁B=60°
∴B₁A∥OA₁
∴D（O，-

3

）．
當(dāng)B在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，同理可得B₁A∥OA₁，D（O，-

3

）．（可以證左側(cè)，同理得右側(cè)）
因此，所求解析式為y=2

3

x²-

3

．

點(diǎn)評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)．