Question

如圖，已知：△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，∠B=∠D=30°．
（1）判斷AD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AC=16，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）AD與圓O相切，理由為：連接AD，由同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半，求出∠O的度數，在三角形ADO中，由∠D與∠O的度數求出∠DAO為直角，即OA與AD垂直，由OA為圓的半徑，可得出AD為圓O的切線；
（2）由∠O為60度，且OC=OA，得到三角形AOC為等邊三角形，由AC的長求出OA的長，在直角三角形ADO中，利用銳角三角函數定義表示出tanO，將OA的長代入即可求出AD的長．

解答：解：（1）AD與圓O相切，理由為：
連接OA，
∵圓周角∠B與圓心角∠O都對弧AC，∠B=∠D=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
在△ADO中，∠O=60°，∠D=30°，
∴∠DAO=90°，
∴OA⊥AD，又OA為圓的半徑，
則AD與圓O相切；

（2）∵OC=OA，且∠O=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴OA=AC=16，
在Rt△ADO中，tanO=tan60°=

AD

OA

，即

AD

16

=

3

，
則AD=16

3

．

點評：此題考查了切線的判定與性質，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，以及銳角三角函數定義，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．