Question

【題目】已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點(diǎn)．

①求證：EF與GH互相平分；

②當(dāng)四邊形ABCD的邊滿足______ 條件時(shí)，EF⊥GH．并說明理由.

Answer 1

【答案】AB=CD

【解析】

試題（1）連接GE、GF、HF、EH，根據(jù)三角形的中位線定理即可證得EG=FH/GF=EH，則四邊形EHFG是平行四邊形，
利用平行四邊形的性質(zhì)即可證得；
（2）EF⊥GH時(shí)能得到四邊形EHFG四邊相等，從而得到四邊形ABCD的四邊相等．

試題解析：

（1）連接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分別是AD、BD的中點(diǎn)，
∴EG=CD，
同理FH=CD，F(xiàn)G=AB，EH=AB
∴EG=FH、GF=EH
∴四邊形EHFG是平行四邊形．
∴EF與GH互相平分；
（2）當(dāng)EF⊥GH時(shí)，四邊形EHFG是菱形，
此時(shí)GF=FH=HE=EG，
∵EG=

CD，F(xiàn)H=CD，F(xiàn)G=AB，EH=AB
∴AB=BC=CD=DA，
∴當(dāng)四邊形ABCD的邊滿足條件AB=BC=CD=DA時(shí)，EF⊥GH．