Question

在平面直角坐標中，O是坐標原點，點P是雙曲線y=

k

x

與直線y=kx（k≥1）的交點，連接OP，當點P的坐標為（1，

2

）時，OP的長是

 

；要使OP的值最小時，點P的坐標是

 

．

Answer 1

分析：已知點P的坐標為（1，

2

），運用勾股定理可直接求出OP的長；如果設(shè)點P的坐標為（x，y），那么OP=

x2+y2

，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，當x=y時，x²+y²有最小值，即OP有最小值，又k的最小值是1，從而求出點P的坐標．

解答：解：∵點P的坐標為（1，

2

），
∴OP=

12+( 2 )2

=

3

；
設(shè)點P的坐標為（x，y），
則OP=

x2+y2

，
∵x²+y²≥2xy，
∴當x=y時，x²+y²有最小值，
又k≥1，即k的最小值是1，
解方程組

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴點P的坐標是（1，1）或（-1，-1）．
故答案為：

3

，（1，1）或（-1，-1）．

點評：此題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，不等式等知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．