Question

如圖，在正方形ABCD中，點E是AD的中點，連接BE、CE，點F是CE的中點，連接DF、BF，點M是BF上一點且=，過點M做MN⊥BC于點N，連接FN．下列結論中：
①BE=CE；②∠BEF=∠DFE；③MN=AB；④=．
其中正確結論的個數(shù)是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：設AE=a，則DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．在正方形ABCD中，根據勾股定理可得BE=CE，故①正確；過點F作FG⊥AD于G，F(xiàn)G交BC于H．由F是CE的中點，得出EG=DG=DE=a，GF=CD=a．再根據正切函數(shù)的定義可得tan∠AEB=tan∠GDF=2，則∠AEB=∠GDF，BE∥DF，從而有∠BEF=∠DFE，故②正確；由△EFG≌△CFH，得出FG=FH=a，由MN∥FH，根據平行線分線段成比例定理，可得MN=FH=a，則MN=AB，故③正確；分別計算S_△FMN與S_{四邊形FEBN}，即可得出==，故④錯誤．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
設AE=a，則DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．
在△ABE中，由勾股定理，得BE=a，
在△CDE中，由勾股定理，得CE=a，
∴BE=CE，故①正確；
過點F作FG⊥AD于G，F(xiàn)G交BC于H．
∵AD∥BC，F(xiàn)G⊥AD，∴GH⊥BC．
∵FG∥CD，點F是CE的中點，
∴EG=DG=DE=a，GF=CD=a．
在直角△ABE中，∵tan∠AEB===2，
在直角△GFD中，∵tan∠GDF===2，
∴tan∠AEB=tan∠GDF，
∵0°＜∠AEB＜90°，0°＜∠GDF＜90°，
∴∠AEB=∠GDF，
∴BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，故②正確；
易證△EFG≌△CFH，則FG=FH=a，EG=CH=a．
∵GH∥CD，GD∥HC，∠CDA=90°，
∴四邊形CDGH是矩形，
∴CH=DG=a，
∴BH=BC-CH=a．
∵MN⊥BC，GH⊥BC，
∴MN∥FH，
∴===，
∴MN=FH=a，BN=BH=a，
∴MN=AB，故③正確；
∵BN=CH=a，
∴NH=BC-BN-CH=a，
∴S_△FMN=MN•NH=×a×a=a²，
S_{四邊形FEBN}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△CDE-S_△CNF=4a²-•2a•a-•2a•a-•a•a=a²．
∴==，故④錯誤．
故選C．
點評：本題主要考查了正方形的性質，全等三角形、相似三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，作出輔助線是解題的關鍵，設輔助未知數(shù)AE=a可使問題簡化．