Question

用反證法證明：
（1）已知：a＜|a|，求證：a必為負數．
（2）求證：形如4n+3的整數k（n為整數）不能化為兩個整數的平方和．

Answer 1

分析：（1）首先假設a≥0，則|a|=a，與已知|a|＞a矛盾，因此a必為負數．
（2）假設4n+3的整數部分k能化成兩個整數的平方和，設這兩個整數為α，β，則有4n+3=α²+β²，因為（n+2）²+（-n²-1）≠α²+β²，可得前后矛盾，因此假設結論不成立，進而得出答案．

解答：證明：（1）假設a≥0，則|a|=a，這與已知|a|＞a相矛盾，
因此假設不成立，
所以a必為負數；

（2）假設4n+3的整數部分k能化成兩個整數的平方和，不妨設這兩個整數為α，β，
則4n+3=α²+β²，
因為（n+2）²+（-n²-1）≠α²+β²，
所以假設不成立，
故4n+3的整數k不能化為兩個整數的平方和．

點評：本題考查了反證法，注意逆命題的與原命題的關系是解題關鍵．