Question

對(duì)于二次函數(shù)C：y=x²-4x+6和一次函數(shù)l：y=-x+6，把y=t（x²-4x+6）+（1-t）（-x+6）稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中，t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線E．設(shè)二次函數(shù)C和一次函數(shù)l的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并判斷這兩個(gè)點(diǎn)是否在拋物線E上；
（2）二次函數(shù)y=-x²+5x+5是二次函數(shù)y=x²-4x+6和一次函數(shù)y=-x+6的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
（3）若拋物線E與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)圍成的三角形面積為6，求拋物線E的解析式．

Answer 1

解：（1）聯(lián)立，
消掉y得，x²-4x+6=-x+6，
整理得，x²-6x=0，
解得x₁=0，x₂=6，
∴y₁=6，y₂=-6+6=0，
∴點(diǎn)A（0，6），B（6，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=t（×0²-4×0+6）+（1-t）（-0+6）=6t+6-6t=6，
當(dāng)x=6時(shí)，y=t（×6²-4×6+6）+（1-t）（-6+6）=0，
∴點(diǎn)A、B在拋物線E上；

（2）∵拋物線E一定經(jīng)過點(diǎn)A、B，
而對(duì)于二次函數(shù)y=-x²+5x+5，當(dāng)x=0時(shí)，y=5≠6，
∴二次函數(shù)y=-x²+5x+5不是二次函數(shù)y=x²-4x+6和一次函數(shù)y=-x+6的一個(gè)“再生二次函數(shù)”；

（3）由（1）得，拋物線E與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為A，
設(shè)拋物線E截x軸的線段長(zhǎng)為a，則S=a×6=6，
解得a=2，
所以，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）或（8，0），
點(diǎn)（4，0）代入拋物線E得，y=t（×4²-4×4+6）+（1-t）（-4+6）=0，
解得t=，
此時(shí)y=（x²-4x+6）+（1-）（-x+6）=x²-x+6，
點(diǎn)（8，0）代入拋物線E得，y=t（×8²-4×8+6）+（1-t）（-8+6）=0，
解得t=，
此時(shí)，y=（x²-4x+6）+（1-）（-x+6）=x²-x+6．
分析：（1）聯(lián)立二次函數(shù)C與一次函數(shù)l的解析式，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程再求出相應(yīng)的y的值，即可得到A、B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線E的解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）根據(jù)拋物線E必過定點(diǎn)A、B，代入二次函數(shù)y=-x²+5x+5進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）設(shè)拋物線E截x軸的線段長(zhǎng)為a，先利用三角形的面積求出a的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線求解即可得到t的值，從而得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證點(diǎn)是否在二次函數(shù)圖象上，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，讀懂題目信息，理解“再生二次函數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．