Question

（2012•湛江模擬）已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒．
（1）求過(guò)點(diǎn)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）求AB的長(zhǎng)；若動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△APD的面積為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把A（10，0）、B（4，8）、C（0，8）三點(diǎn)代入即可求出a、b、c的值，進(jìn)而得出該拋物線的解析式；
（2）作BE⊥OA與E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）先求出COAB的面積，由于點(diǎn)P的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由S_△APD=

1

4

S_梯形COAB，得

1

2

OD•y=

1

4

×56故可求出y的值，由S_△APD=

1

2

AP•DH=

1

2

t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）．由S_△APD=

1

4

S_梯形COAB，得

1

2

AD•y=

1

4

×56故可求出y的值，此時(shí)t=10+4+（8-

28

5

）=16

2

5

，由此可得出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
依題意，得

c=0 100a+10b=0 16a+4b=8

，
解得

a=- 1 3 b= 10 3 c=0

，
故所求拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+

10

3

x；

（2）作BE⊥OA與E，OE=BC=4，
∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
∴AB=

AE2+BE2

=10．
解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF=

OA•BE

AB

=8，DH=

1

2

OF=4，
∴S=

1

2

AP•DH=

1

2

t×4=2t（0≤t≤10）；
解法二：∵

S△APD

S△ABD

=

AP

AB

，S_△ABD=

1

2

AD•BE=

1

2

×5×8=20．
∴

S

20

=

t

10

，
∴S=2t（0≤t≤10）；

（3）點(diǎn)P只能在AB或OC上才能滿足題意，
S_梯形COAB=

1

2

（BC+OA）•OC=

1

2

×（4+10）×8=56，
（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由S_△APD=

1

4

S_梯形COAB，
得

1

2

OD•y=

1

4

×56，解得y=

28

5

，
由S_△APD=

1

2

AP•DH=

1

2

t×4=14，得t=7．
此時(shí)，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）²+y²=AP²，即（10-x）²+（

28

5

）²=7²，
解得x=

29

5

，即在7秒時(shí)有點(diǎn)P₁（

29

5

，

28

5

）滿足題意；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）．
由S_△APD=

1

4

S_梯形COAB，得

1

2

AD•y=

1

4

×56，解得y=

28

5

，
此時(shí)t=10+4+（8-

28

5

）=16

2

5

．   即在t=16

2

5

秒時(shí)，有點(diǎn)P₂（0，

28

5

）滿足題意；
綜上，在7秒時(shí)有點(diǎn)P₁（

29

5

，

28

5

），在16

2

5

秒時(shí)有點(diǎn)P₂（0，

28

5

）使PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形及梯形的高是解答此題的關(guān)鍵．