Question

取一副三角板按圖①拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點(diǎn)A依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角（0°＜α≤45°得到⊿ABC^/，如圖②所示。試問：
小題1:當(dāng)α為多少度時(shí)，能使得圖②中AB∥CD？
小題2:當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖③位置，此時(shí)α又為多少度？圖③中你能找出哪幾對(duì)相似三角形，并求其中一對(duì)的相似比。
小題3:連結(jié)BD，當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，探尋∠DBC^/+∠CAC^/+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明。

Answer 1

小題1:由題意∠CAC′=α，

要使AB∥DC，須∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°，α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
即α=15°時(shí)，能使得AB∥DC．
小題2:易得α=45°時(shí)，可得圖③，
此時(shí)，若記DC與AC'，BC'分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，
則共有兩對(duì)相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．
下求△BFC與△ADC的相似比：
在圖③中，設(shè)AB=a，則易得AC=  a．
則BC=（  -1）a， BC：AC=（ -1）a： a=1：（2+ ）
或（2-  ）：2．（8分）
注：△C'FE與△ADE的相似比為：C'F：AD=（ -  +1）： 或（  +  -2）：2
小題3:∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小沒有變化，總是105°，
當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，總有△EFC′存在．
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，
∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，
又∵∠C′=45°，∠C=30°，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．

一副三角板的角度常識(shí)和相似三角形的判定定理及性質(zhì)可求解．