Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12，點(diǎn)E是邊CD上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)C，D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點(diǎn)F，H，G，交AB的延長線于點(diǎn)P．
（1）設(shè)DE=m（0＜m＜12），試用含m的代數(shù)式表示

FH

HG

的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)

FH

HG

=

1

2

時，求BP的長．

Answer 1

（1）過點(diǎn)H作MN∥AB，分別交AD，BC于M，N兩點(diǎn)，
∵FP是線段AE的垂直平分線，
∴AH=EH，
∵M(jìn)H∥DE，
∴Rt△AHM∽Rt△AED，
∴

AM

MD

=

AH

HE

=1，
∴AM=MD，即點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，
∴AM=MD=6，
∴MH是△ADE的中位線，MH=

1

2

DE=

1

2

m，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形ABNM是矩形，
∵M(jìn)N=AD=12，
∴HN=MN-MH=12-

1

2

m，
∵AD∥BC，
∴Rt△FMH∽Rt△GNH，
∴

FH

GH

=

MH

NH

=

1 2 m

12- 1 2 m

，
即

FH

HG

=

m

24-m

（0＜m＜12）；

（2）過點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K，則四邊形AKHM和四邊形KBNH都是矩形．
∵

FH

HG

=

m

24-m

=

1

2

，
解得m=8，
∴MH=AK=

1

2

m=

1

2

8=4，HN=KB=12-

1

2

m=12-

1

2

8=8，KH=AM=6，
∵Rt△AKH∽Rt△HKP，
∴

KH

KP

=

AK

HK

，即KH²=AK•KP，
又∵AK=4，KH=6，
∴6²=4•KP，解得KP=9，
∴BP=KP-KB=9-8=1．