Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似，請(qǐng)直接寫出符合要求的，并在第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；  
（4）將拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把C的坐標(biāo)代入即可求出a的值，再化成頂點(diǎn)式即可；
（2）求出C的坐標(biāo)，過C作CG∥x軸交BF于G，根據(jù)C的坐標(biāo)求出G坐標(biāo)；當(dāng)是（4，4）兩三角形全等即相似，當(dāng)是（8，8）時(shí)符合相似三角形的判定，即兩三角形相似綜合上述有3個(gè)點(diǎn)．
（3）設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b，代入坐標(biāo)后求出解析式，設(shè)P（2，t），根據(jù)距離相等列出方程求出即可；
（4）拋物線向上平移，可設(shè)解析式為y=-x²+2x+8+m，把x=4或-8代入即可列出不等式，即可求出答案．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），
把C（0，8）代入得a=-1，
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，頂點(diǎn)D（1，9），
答：拋物線的解析式是：y=-x²+2x+8，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，9）．

（2）G（4，8）或（8，8）或（4，4）．

（3）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，依題意設(shè)P（2，t），
設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b，
把C（0，8），D（1，9）代入得：

8=b 9=k+b

，
解得：

k=1 b=8

，
∴直線CD的解析式為：y=x+8，
它與x軸的夾角為45°，
設(shè)OB的中垂線交CD于H，則H（2，10）．
則PH=|10-t|，點(diǎn)P到CD的距離為d=

2

2

PH=

2

2

|10-t|．
又PO=

t2+22

=

t2+4

．∴

t2+4

=

2

2

|10-t|．
平方并整理得：t²+20t-92=0，t=-10±8

3

，
∴存在滿足條件的點(diǎn)P，P的坐標(biāo)為(2，-10±8

3

)，
∴存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-10+8

3

），（2，-10-8

3

），

（4）解：直線CD的解析式為：y=x+8，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-8，
當(dāng)x=4時(shí)，y=12，
∴E（-8，0），F(xiàn)（4，12）．
拋物線向上平移，可設(shè)解析式為y=-x²+2x+8+m（m＞0）．
當(dāng)x=-8時(shí)，y=-72+m，
當(dāng)x=4時(shí)，y=m，
∴-72+m≤0或m≤12，
∴0＜m≤72．
∴向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，
答：拋物線向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)度．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解一元二次方程和一元一次不等式，一次函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，此題綜合性強(qiáng)，有一定的難度．