Question

已知關于x的方程（k-1）x²-6x+9=0．
（1）若方程有實數根，求k的取值范圍；
（2）若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（3）若方程有兩個相等的實數根，求k的值，并求此方程的根．

Answer 1

解：（1）若k=1，方程為一元一次方程，有解，滿足題意；
若k≠1，方程為一元二次方程，
∵方程有實數根，
∴△=b²-4ac=（-6）²-36（k-1）=72-36k≥0，
解得：k≤2且k≠1，
綜上，k的范圍為k≤2；
（2）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（-6）²-36（k-1）=72-36k＞0，且k-1≠0，
解得：k＜2且k≠1；
（3）∵方程有兩個相等的實數根，
∴△=b²-4ac=（-6）²-36（k-1）=72-36k=0，且k-1≠0，
解得：k=2．
∴原方程為x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3．
分析：（1）若k=1，方程為一元一次方程，有解，滿足題意；當k不等于1時，方程為一元二次方程，得到根的判別式大于等于0，且二次項系數不為0，列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍；
（2）方程有兩個不相等的實數根，得到k-1不為0，且根的判別式大于0，即可得到k的范圍；
（3）方程有兩個相等的實數根，得到k-1不為0，且根的判別式等于0，即可得到k的范圍．
點評：此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的解，一元二次方程中根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式小于0，方程無解．