Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 點D在邊AC上（不與A，C重合），連結BD，F為BD中點.

（1）若過點D作DE⊥AB于E，連結CF、EF、CE，如圖1． 設，則k =        ；

（2）若將圖1中的△ADE繞點A旋轉，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值．

 

Answer 1

 解：（1）k=1；                              ……………………….……………………………1分

（2）如圖2，過點C作CE的垂線交BD于點G，設BD與AC的交點為Q.

由題意，tan∠BAC=，

∴ .

∵ D、E、B三點共線，

∴ AE⊥DB.

∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,

∴ ∠QBC=∠EAQ.

∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，

∴ ∠ECA=∠BCG.   

∴ .

∴ .

∴ GB=DE.

∵ F是BD中點，

∴ F是EG中點.

在中，,

∴ .             .…………………………….……………………………4分

（3）情況1：如圖，當AD=時，取AB的中點M，連結MF和CM，

∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,

∴AC=12，AB=.

∵M為AB中點，∴CM=,

∵AD=，

∴AD=.

∵M為AB中點，F為BD中點，

∴FM== 2.

∴當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，此時CF=CM+FM=.

.…………………………….……………………………5分

情況2：如圖，當AD=時，取AB的中點M，

連結MF和CM，

類似于情況1，可知CF的最大值為.             

………….……………………………6分

綜合情況1與情況2，可知當點D在靠近點C的

三等分點時，線段CF的長度取得最大值為.