Question

如圖，在?ABCD中，AB=3，AD=4，過(guò)BC的中點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，且BF=1，
（1）求證：△BEF≌△CEH；
（2）求△DEF的面積．

Answer 1

分析：（1）由在?ABCD中，過(guò)BC的中點(diǎn)E作EF⊥AB，根據(jù)AAS，即可判定：△BEF≌△CEH；
（2）由在?ABCD中，AB=3，AD=4，BF=1，根據(jù)勾股定理，可求得EF的長(zhǎng)，由平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)，可求得CD的長(zhǎng)，繼而求得△DEF的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠HCE，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=∠H=90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∵在△BEF和△CEH中，

∠B=∠HCE ∠BFE=∠H BE=CE

，
∴△BEF≌△CEH（AAS）；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=4，CD=AB=3，
∴BE=

1

2

BC=2，
∵∠EFB=90°，BF=1，
∴EF=

BE2-BF2

=

3

，
∵△BEF≌△CEH，
∴CH=BF=1，
∴DH=CD+CH=4，
∵DH⊥EH，
∴S_△DEF=

1

2

EF•DH=

1

2

×

3

×4=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．