(2008•廣安)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(1,-5)和(-2,4)
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與直線y=x相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),平行于y軸的直線x=m(0<m<+1)與拋物線交于點(diǎn)M,與直線y=x交于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)P,求線段MN的長(用含m的代數(shù)式表示);
(3)在條件(2)的情況下,連接OM、BM,是否存在m的值,使△BOM的面積S最大?若存在,請求出m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)利用待定系數(shù)法,將A,B的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式;
(2)因?yàn)辄c(diǎn)B是y=x與y=x2-2x-4的交點(diǎn),根據(jù)題意可求得N,M的坐標(biāo),則可表示出MN的長,通過縱坐標(biāo)的絕對值的和求得;
(3)把△BOM分成兩個△OMN與△BMN,把MN作為兩個三角形的底,通過點(diǎn)B,P的縱坐標(biāo)表示出兩個三角形的高即可求得三角形的面積.
解答:解:(1)由題意把點(diǎn)(1,-5)、(-2,4)代入y=x2+bx+c得:
,
解得b=-2,c=-4,(3分)
∴此拋物線解析式為:y=x2-2x-4;

(2)由題意得:
∴x2-3x-4=0,
解得:x=4或x=-1(舍),
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4),
將x=m代入y=x條件得y=m,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,m),
同理點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m2-2m-4),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),
∴PN=|m|,MP=|m2-2m-4|,
∵0<m<+1,
∴MN=PN+MP=-m2+3m+4;

(3)作BC⊥MN于點(diǎn)C,
則BC=4-m,OP=m,
S=MN•OP+MN•BC,
=2(-m2+3m+4),
=-2(m-2+12,(11分)
∵-2<0,
∴當(dāng)m-=0,則m=時(shí),S有最大值.
點(diǎn)評:此題考查了待定系數(shù)法求解析式,還考查了三角形的面積,要注意將三角形分解成兩個三角形求解;
還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù).
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