Question

如圖，正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果B（a，b）為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)，且b=2a，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB周長最小？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在的象限判斷出k的符號，再由△OAM的面積為1，即可得出k的值，進(jìn)而求出其解析式；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)B（a，b）為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)，且b=2a得出B點(diǎn)坐標(biāo)，由于AB的距離為定值，所以若使△PAB周長最小則PA+PB的值最小，作出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，并連接BC，交x軸于點(diǎn)P，P為所求點(diǎn)．A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C（2，-1），而B為（1，2），故BC的解析式為y=-3x+5，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)在第一象限，
∴k＞0，
∵△OAM的面積為1，
∴

1

2

k=1，解得k=2，
故反比例函數(shù)的解析式為：y=

2

x

；

（2）∵點(diǎn)A是正比例函數(shù)y=

1

2

x與反比例函數(shù)y=

2

x

的交點(diǎn)，且x＞0，y＞0，
∴

y= 1 2 x y= 2 x

，
解得

x=2 y=1

，
∴A（2，1），
∵B（a，b）為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)，且b=2a，
∴b=

2

a

，
∵b=2a，
∴a=1，b=2，
∴B（1，2），
∵AB的距離為定值，
∴若使△PAB周長最小則PA+PB的值最小，
如圖所示：作出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，并連接BC，交x軸于點(diǎn)P，P為所求點(diǎn)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1），
令直線BC的解析式為y=mx+n，將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，

2m+n=-1 m+n=2

，
解得

m=-3 n=5

，
故直線BC的解析式為：y=-3m+5，
當(dāng)y=0時，x=

5

3

，
則點(diǎn)P（

5

3

，0）．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、軸對稱-最短路線問題，在解答（2）時把求三角形周長的最小值轉(zhuǎn)化為求PA+PB的最小值是解答此題的關(guān)鍵．